Где T1 и T2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, a1 и a2 - длины больших полуосей их орбит.

Если орбита следующей планеты в 2 раза дальше предыдущей (т.е., a 2 = 2 a 1 ), то период её орбиты будет примерно в 3 раза больше :

T 2 = T 1 × √(2 3 /1) = T 1 × √8 ≈ 2,828 T 1 ≅ 3T 1 .

§ 4.4. Орбитальные резонансы планет СС

Орбита следующей планеты с учетом поправки Ньютона: T 2 = √8 × T 1 (M + m 1) / (M + m 2) . Т.е., если следующая планета меньше предыдущей, то ее резонанс лучше приблизится к 3:1, если больше - то сдвинется к 2,5 и может стать 5:2. Поэтому реально резонансы могут быть разные (табл. 2).

Табл. 2. Периоды обращения планет СА и их резонансы.

Наиболее простыми резонансами являются 1 / 2 , 3 / 2 , 5 / 2 ; 1 / 3 , 2 / 3 ; 3 / 4 ; 2 / 5 , 3 / 5 ; 3 / 7 , 4 /7 .

Положим их в последовательный ряд: 0,3 (1/3), 0,4 (2/5 и 3/7), 0,5 (1/2), 0,6 (3/5 и 4/7), 0,7 (2/3), 0,8 (3/4); 1,5 (3/2); 2,5 (5/2). Как видим, здесь находится место Меркурию, ВЫенере, Марсу, Фаэтону (астероидам).

Ряд этот получается слишком плотным - вероятно, из этих исключаются из-за гравитационного напряжения между объектами орбит. Полностью заполнится он может только для малых тел.

§ 4.5. Орбитальные правила для планет земной группы

Расположим в ряд расстояния от Солнца до планет, выраженные в астрономических единицах:

0,39; 0,72; 1,0; 1,52; 2,8 (расчётное); 5,20; 9,54; 19,18; 30,06; 39,44 …

Умножим его на 5: 1,95; 3,6; 5; 7,6; 14; 26; 47,7; 95,9;150,3; 197,2 .

Мы видим убедительное сходство, особенно для планет земной группы, относящихся к внутренней орбитальной зоне.

Получается, если орбиты планет-гигантов расположены друг к другу по удвоенным расстояниям (к Нептуну раньше это тоже могло относится), то орбиты земных планет раскладываются в ряд Фибоначчи. Правило же Тициуса-Боде вмещает в себя обе эти закономерности.

§ 4.6. Орбитальные пробелы в астероидах и кольцах Сатурна

Большую серию резонансных движений, воспринимаемых опять-таки как досадные помехи в стройной теории, доставляет пояс астероидов [ , ]. Хорошо известны щели (пробелы, люки) Кирквуда [ , с.с. 9, 53], соответствующие резонансам 2:5, 1:3 с обращением Юпитера. Менее заметные понижения в кривой распределения периодов обращения астероидов возникают при резонансах 1:4, 1:5, 3:5, 3:7 .

Существует и противоположная ситуация – группировка орбит вблизи точек 3:4 и 2:3 .

В музыкальной терминологии это «кварта» и «квинта». «Прима» также устойчива и соответствует группе троянцев.

Знаменитая «щель Кассини» в Кольцах Сатурна имеет резонансную природу. Она занимает ту зону, в которой частички, составляющие кольца Сатурна, имели бы периоды, близкие к 1/2 периода Мимаса, 1/3 периода Энцелада и1/4 периода Тефии.

Для понимания этого явления недостаточно было обнаружить щель и открыть спутники Сатурна. С этим справился сам Кассини. Мало было даже открыть другие пробелы в кольцах Сатурна. Только в ХIХ веке Кирквуд, сопоставив пробелы в поясе астероидов с кольцами Сатурна, осознал единый резонансный Механизм образования пробелов.

§ 4.7. Орбитальные правила для транснептунов

Начиная с 30 а.е. (орбита Нептуна) начинается пояс Койпера [ , с. 2; , с. 37], который продолжается примерно до 55 а.е. от Солнца. К этой области принадлежит карликовая планета Плутон .

На самой орбите Плутона находятся резонансные ему плутино, чьи 3 оборота равны 4 оборотам Нептуна ~220 лет.

Далее открытые малые планеты располагаются «слоями» (возможно, не все еще открыты, возможно, имеют место щели и пробелы, как в астероидах и кольцах Сатурна, под влиянием неких более массивных космических тел).

От 40 до 60 а.е. (период обращения 250-290 лет) малые планеты идут сплошным массивом.

В Галактике у большинства звезд с экзопланетами самые массивные из них расположены не на наибольшем удалении от светил, а рядом с ними (ближе, чем Меркурий к Солнцу) - там находятся горячие экзопланеты с небольшими периодами вращения.

В феврале 2017 года была открыта экзопланетная система TRAPPIST-1 . Вокруг красного карлика обращается 7 планет, 6 из которых находятся в цепочке резонансов 2:3:4:6:9:15:24 . Видно, что здесь средний множитель для следующей орбиты - 1,5, - как в земной группе. Возможно, это особенность всех близких орбит. Далее, по аналогии, в этой звёздной системе могут быть планеты с резонансами 36:54.

5. Природа явления

Перейдём от астрономических исследований (того, что видим) к физическим (того, что не видим). Попытаемся установить: 1) законы формирования резонансной конфигурации в мультиорбитальной системе; 2) физический смысл правила Тициуса-Боде (если он есть), уточнив его и выразив через переменные.

§ 5.1. Кратности и разности в резонансах

§ 5.2. Суммарные гравитационные потенциалы на орбитах

§ 5.3. Физический смысл закона Тициуса-Боде и его уточнение

6. Применение полученных знаний

§ 6.1. Вычисение "на кончике пера" новых орбит

На основании правил распределения транснептуновых планет (см. ) и уточненного закона Тициуса-Боде (см. ) для них можно предположить наиболее вероятные орбиты пока не найденных новых планет Солнечной системы .

§ 6.2. Восстановление предыдущих конфигураций орбит

На основании правила Тициуса-Боде пока весьма осторожно можно высказаться о том, что Нептун был на средней орбите Плутона (40 а.е.). Видимо, именно Нептун сформировал пояс Койпера . Сам Плутон, возможно, был спутником Нептуна.

Сами спутники Нептуна, вероятно, принадлежали поясу Койпера. Это можно эскизно исследовать по их плотностям.

Расстояния от планет Солнечной системы до Солнца возрастают согласно простому арифметическому правилу.

Есть что-то такое в нумерологии, что буквально завораживает людей. Будучи ученым, занимающимся общественно-просветительской деятельностью, я регулярно получаю письма от людей, нашедших очередную «разгадку» какой-либо тайны Вселенной посредством анализа последовательности десятичных знаков в записи числа π или массы одной из элементарных частиц. Логика у них простая: если найдена какая-то закономерность в числовой последовательности, благодаря которой удается объяснить какое-либо природное явление, значит за этим кроется что-то фундаментальное. Надуманным «законам» подобного рода в этой книге уделяется мало внимания, однако для правила Тициуса—Боде, хотя оно и относится к вышеупомянутой категории, следует сделать исключение (ничего предосудительного в том, как оно изначально было выведено и проверено, нет; просто со временем выяснилось, что оно не всегда работает, — и мы это увидим).

В 1766 году немецкий астроном и математик Иоганн Тициус заявил, что выявил простую закономерность в нарастании радиусов околосолнечных орбит планет. Он начал с последовательности 0, 3, 6, 12, ..., в которой каждый следующий член образуется путем удвоения предыдущего (начиная с 3; то есть 3 × 2 n , где n = 0, 1, 2, 3, ...), затем добавил к каждому члену последовательности 4 и поделил полученные суммы на 10. В итоге получились весьма точные предсказания (см. таблицу) расстояний известных на то время планет Солнечной системы от Солнца в астрономических единицах (1 а. е. равна среднему расстоянию от Земли до Солнца).

Совпадение прогноза с результатом действительно впечатляет, особенно если учесть, что открытый лишь в 1781 году Уран также вписался в предложенную Тициусом схему: по Тициусу — 19,6 а. е., фактически — 19,2 а. е. Открытие Урана подогрело интерес к «закону», прежде всего к таинственному провалу на удалении 2,8 а. е. от Солнца. Там, между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета — считали все. Неужели она столь мала, что ее невозможно обнаружить в телескопы?

В 1800 году даже была создана группа из 24 астрономов, ведших круглосуточные ежедневные наблюдения на нескольких самых мощных в ту эпоху телескопах, они даже дали своему проекту громкое название «Небесная стража», но, увы... Первую малую планету, обращающуюся по орбите между Марсом и Юпитером, открыли не они, а итальянский астроном Джузеппе Пиацци (Guiseppe Piazzi, 1746-1826), и произошло это не когда-нибудь, а в новогоднюю ночь 1 января 1801 года, и открытие это ознаменовало наступление ХIX столетия. Новогодний подарок оказался удален от Солнца на расстояние 2,77 а. е. Однако диаметр этого космического объекта (933 км) явно не позволял счесть ее искомой крупной планетой. Однако в течение всего нескольких лет после открытия Пиацци было обнаружено еще несколько малых планет, которые назвали астероидами , и сегодня их насчитывается много тысяч. Подавляющее большинство из них обращается по орбитам, близким к предсказываемым правилом Тициуса—Боде, и, по последним гипотезам, они представляют собой «строительный материал», который так и не сформировался в планету (см. Гипотеза газопылевого облака).

Немецкий астроном Иоганн Боде, будучи под большим впечатлением от выводов Тициуса, включил их в свой учебник по астрономии, изданный в 1772 году. Именно благодаря его роли как популяризатора его имя возникло в названии правила. Иногда его даже несправедливо называют просто правилом Боде.

И как реагировать человеку, столкнувшемуся с такой «магией» последовательности чисел? Я всегда рекомендую задающимся подобными вопросами придерживаться умного совета, который дал мне в свое время умудренный опытом преподаватель теории вероятностей и статистики. Он часто приводил пример поля для гольфа. «Предположим, — рассуждал он, — что мы задались целью рассчитать вероятность того, что шар для гольфа приземлится на точно заданную травинку. Такая вероятность будет практически нулевой. Но, после того, как мы ударили клюшкой по шару, шару ведь надо куда-то упасть. И рассуждать о том, почему шар упал именно на эту травинку, бессмысленно, поскольку, если бы он упал не на нее, он упал бы на одну из соседних».

Применительно к правилу Тициуса—Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа. Представим себе вместо травинок всевозможные арифметические комбинации чисел, которые призваны дать результаты для расчета радиусов орбит. Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса—Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще — не более чем игра случая, и к настоящей науке это «открытие» отношения не имеет.

В реальной жизни всё оказалось даже проще, и к статистическим доводам для опровержения правила Тициуса—Боде прибегать не пришлось. Как это часто бывает, ложная теория была опровергнута новыми фактами, а именно открытием Нептуна и Плутона. Нептун обращается по очень неправильной, с точки зрения Тициуса—Боде, орбите (прогноз для его радиуса 38,8 а. е., в действительности — 30,1 а. е.). Что касается Плутона, то его орбита вообще лежит в плоскости, заметно отличающейся от орбит других планет, и характеризуется значительным эксцентриситетом, так что, само упражнение с применением правила становится бессмысленным.

Так что же, выходит, правило Тициуса—Боде относится к разряду псевдонаучных? Не думаю. И Тициус, и Боде искренне пытались отыскать математическую закономерность в строении Солнечной системы — и ученые продолжали и продолжают заниматься поисками подобного рода. Проблема в том, что ни тот, ни другой не пошли дальше игры чисел и не попытались отыскать физическую причину того, почему орбиты ближних планет подчиняются подмеченной ими закономерности. А без физического обоснования «законы» и «правила» подобного рода остаются чистой нумерологией — и, как показывают имеющиеся сегодня данные, весьма некорректной нумерологией.

Johann Elert Bode, 1748-1826

Немецкий астроном и математик, родился в Гамбурге. Астроном-самоучка, первый трактат по астрономии опубликовал в возрасте 17 лет. С 1772 года и до самой своей смерти — главный редактор «Астрономического ежегодника» (Astronomisches Jahrbuch) Берлинской академии наук, превративший его в прибыльное и престижное издание. В 1781 году предложил для открытой Вильямом Гершелем (William Herschel) новой планеты название Уран. С 1786 года — директор Астрономической обсерватории Берлинской академии. Составитель звездных атласов, которые переиздаются до наших дней. Самый известный из них — «Уранография» (Uranographia , 1801), который до сих пор считается лучшим и самым красочным звездным атласом в истории человечества. Автор геометрических границ между созвездиями, которые были пересмотрены лишь в 1931 году.

Johann Daniel Titius, 1729-96

Немецкий астроном, математик, физик и биолог. Родился в г. Конитц (Konitz), ныне Хойнице (Chojnice) в Польше. В 1752 году окончил Лейпцигский университет и остался при нем. Через четыре года перешел в Университет Виттенберга, в котором и проработал до конца жизни, занимая кафедры профессора математики и физики. К формулировке «правила» Тициуса подтолкнул осуществленный им перевод на немецкий книги французского натуралиста и естествоиспытателя Шарля Бонне (Charles Bonnet). Бонне утверждал, что в устройстве Солнечной системы присутствует гармония, свидетельствующая о ее божественном происхождении. В 1784 году Боде признал приоритет Тициуса в открытии правила, носящего их имя.

Показать комментарии (15)

Свернуть комментарии (15)

С позиции гипотез небулярного типа к закону Боде-Тициуса можно предъявить целый ряд претензий. Прежде всего, закон антиматериалистичен, ведь в формуле Тициуса никак не задействованы массы планет. Между тем большая планета должна, по идее, иметь большую область питания и должна отделятся от планет большим межпланетным интервалом.

Другое возражение связано с делением планет на гиганты и землеподобные. Резкое различие этих типов планет объясняется различными особенностями процесса их формирования, накладывающими отпечаток на все их свойства. По логике, эти особенности должны были сказаться и на взаимном расположении планет. Очень сомнительно, чтобы эти различия вписывались в единую форму.

Следующая претензия - неуниверсальность закона, неприменимость его к аналогам планетной системы - спутниковым системам планет-гигантов.

И, наконец, так ли уж применим закон к самому планетному ряду? Ясно, что планеты от Венеры до Сатурна не в счёт, поскольку они были известны при составлении закона. Остаются Уран и Нептун.

Единственным веским аргументом в поддержку Закона является двухпроцентная близость радиуса орбиты Урана к значению, предсказанному формулой Тициуса. По мнению сторонников Закона такое совпадение почти равносильно доказательству его правильности. Но так ли это на самом деле? Точность ведь понятие относительное, а иногда катастрофична ошибка в миллионную долю.

Как сказал какой-то древний мудрец: "всё познаётся в сравнении". Поступим и мы подобным образом - попробуем поставить себя на место Тициуса и сделать собственное следующее "предсказание".
Рассмотрим числовой ряд: 0,723 ; 1 ; 1,534 ; 5,203 ; 9,539 ; (орбитальные радиусы планет от Венеры до Сатурна (Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) в астрономических единицах).
Возьмём для этих (известных Боде и Тициусу) планет отношения последующего члена к предыдущему:
1/0,723=1,383 1,524/1=1,524 5,203/1,524=3,414 9,539/5,203=1,833
Примем среднее арифметическое этих значений - 2,04 за отношение "Урана" (ещё не открытого) к Сатурну. Тогда для радиуса орбиты новой планеты получим R=19,45 , что ближе к истинному значению = 19,18 , чем получил Тициус (19,50).
Конечно, проведя другие манипуляции с рядом мы могли бы ошибиться раза в полтора однако приведённый пример показывает что 2% точность не столь уж феноменальна и вполне может быть следствием чистой случайности.

Другим аргументом сторонников Закона является предсказание Цереры. Но Церера не планета, а лишь один из множества астероидов Главного пояса (хотя и крупнейший). Поэтому значимость такого совпадения сомнительна. Следующая планета - Нептун в закон не вписывается, а Плутон нельзя принимать во внимание вследствие его "мелкоты" и большой эллиптичности орбиты (Тициус даже Меркурий не учитывал).

Да, Закон сыграл огромную роль в деле открытия Нептуна и других небесных тел. Но роль эта - косвенная. Открытиям помогала вера в правильность Закона. Сам же Закон, вроде бы, надуман и явно не имеет физического смысла.

Представим себе, что развитие астрономии пошло бы другим путём и все планеты были бы открыты случайно. И вот, в редакцию астрономического журнала поступила рукопись, подписанная некими авторами Боде и Тициусом, что ими найдена закономерность расположения планет. Вряд ли кто-то воспринял её всерьёз.

И всё-таки в Законе Боде-Тициуса заложены два очень верных суждения. Первое - планеты (как и их спутники) имеют тенденцию располагаться в примерно геометрической прогрессии. Второе - орбиты планет (опять же, как и спутников) часто располагаются относительно независимо от масс. Здесь речь идёт об орбитальных резонансах - соизмеримостях периодов обращения. Например, за два оборота Сатурна Юпитер совершает примерно 5 оборотов, а Плутон обращается ровно дважды за три периода Нептуна. Если бы конфигурация протопланетного диска была немножко другой, массы Юпитера и Сатурна были бы несколько иными, но их относительное расположение практически не изменилось. Т.е. в противоположность непрерывному изменению масс, относительное расположение небесных тел меняется в некотором смысле "дискретно" - скачками.

Хотя орбитальным резонансам до сих пор не найдено теоретического объяснения, их многочисленность как среди планет, так и их спутников не оставляют сомнений в неслучайности этой закономерности. Обычно резонансам отводится "второстепенная" роль в деле расположения орбит. Предполагается, что первоначально планеты/спутники формировались на каких-то других орбитах, а в резонанс вошли позже - за время жизни Солнечной системы - 4,6 млрд. лет. По мнению же автора планеты/спутники изначально формировались именно на резонансных орбитах. Иными словами, вместо Закона Боде-Тициуса расположением планет (а также их регулярных спутников) управляет "Закон Резонансов". Но у резонансных соотношений есть большой минус, препятствующий вытеснению ими Закона Боде-Тициуса. В отличие от всеохватного З Б-Т далеко не все планеты/спутники "обвязаны" ими.

Автором найден новый тип соотношений связывающих друг с другом орбиты небесных тел. Проиллюстрируем эти соотношения, названные автором промежуточным орбитальным резонансом на следующем примере: Возьмём Венеру и Юпитер, орбитальные радиусы которых равны 0,723 и 5,203 астрономическим единицам, соответственно.

Проделаем с этими числами несколько элементарных арифметических действий.

(5,203+0,723) = 2,963 - это средний радиус частицы, обращающейся по эллипсу между орбитами Венеры и Юпитера (большая полуось этой "промежуточной" орбиты).
2,963/5,203 = 0,5695 - отношение промежуточного среднего радиуса к радиусу орбиты Юпитера.
Возводя это отношение в куб, получаем 0,1847, извлекая из которого квадратный корень, получаем число 0,4298.
Каков смысл всех манипуляций? Мы получили отношение периода обращения промежуточной частицы (Венера-Юпитер) к периоду Юпитера (соглно 3-му закону Кеплера квадраты периодов соотносятся как кубы средних орбитальных радиусов).
Что это за цифирь 0,4298 ? Умножив её на 7 получим 3,01. Значит, если бы между орбитами Юпитера и Венеры обращался астероид, он находился бы с Юпитером в резонансе 3/7.
Что это - случайное совпадение? Таких "совпадений" как среди планет, так и спутников чересчур многовато. Например, за три периода Сатурна, промежуточная частица Сатурн-Нептун обернётся примерно трижды. Если запустить к Венере космический зонд, то через 4 (земных) года он практически встретится с ней, сделав 5 оборотов.
В моих работах, размещённых на сайте http://astronomij.narod.ru/ (более последовательно в трактате "О законе", дано хорошее теоретическое объяснение как "обычным" орбитальным резонансам, так и обнаруженным мной "промежуточным". Показано, что как планетная система, так и спутниковые системы Юпитера, Сатурна, Урана сформировались благодаря их сочетанию.

Ответить

• Солнечной системе был свой эволюционный процесс.и то как она сейчас выглядит- есть результат этой эволюции.. Но можно предположить "идеальный" процес эволюции. Если параметры всех планет,а именно, расстояние до Солнца, скорость на орбите и период обращения вокруг Солнца выразить через параметры планеты Земля, Аз = 1 Tз = 1 Vз = 1 То возникнет общая формула взаимозависимых параметров каждой планеты. Аn = Tn Vn ! Где Аn -расстояние до Солнца. Тn -период обращения. Vn -скорость на орбите. n - порядковый номер планеты от Солнца. Но в то же время каждый параметр по отдельности можно выразить через общую формулу. А n = 1.111111111(4n - 12) Tn = 1.111111111(6n-18) Vn = 1.111111111(6 - 2n) ТО что в скобках -это степень. Но самое интересное из всего этого вытекает то, что в Солнечной системе по планету Плутон должно быть 12 планет, а не 9. Первая - пояс астероидов. Вторая - между поясом астероидов и планетой Юпитер. Третья - между Сатурном и Ураном!

  Ответить

  "Другое возражение связано с делением планет на гиганты и землеподобные. Резкое различие этих типов планет объясняется различными особенностями процесса их формирования, накладывающими отпечаток на все их свойства. По логике, эти особенности должны были сказаться и на взаимном расположении планет. Очень сомнительно, чтобы эти различия вписывались в единую форму." Земля и Юпитер даже легли на одну и ту же кубическую экстраполяцию диаграммы масса-светимость. Какие данные по звёздам тот деятель взял, чтоб получить такой результат, мне не известно, не уверен, что в эти ворота влезет хотя бы Солнце. Но планеты у него легли на одну и ту же кривую, не взаимодействуя между собой. В плане же орбитальных радиусов факт взаимодействия отчётливо виден со времён Ньютона, ускользает от восприятия только конкретика.

  Ответить

  "Следующая претензия - неуниверсальность закона, неприменимость его к аналогам планетной системы - спутниковым системам планет-гигантов." Универсальный закон был бы равно применим к Солнечной системе и к системе Глизе, но в любом случае не относится к спутникам хоть гигантских, да всё ж ПЛАНЕТ.

  Ответить

Я не астроном, я занимаюсь прикладной математикой, доктор технических наук...

Автор утверждает: "Применительно к правилу Тициуса-Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа... Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса-Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще - не более чем игра случая, и к настоящей науке это "открытие" отношения не имеет".

Да, действительно теория интерполяции позволяет найти функцию проходящую через 6 точек... но функция будет сложной... а здесь простая функция, совсем простая...
Попробуйте взять произвольные 6 чисел и найти простую закономерность... устанете искавши, я вас уверяю...

так что таких случайностей не бывает:)))

Где S – синодический период планеты, относительно Меркурия.
3) После элементарных преобразований третьего закона Кеплера имеем:
a = ((T/T_M)*(M_S+m)/(M_S+m_M))^(2/3)*a_M
4) Преобразуем последнее выражение с использованием уравнения связи синодического и сидерического периода:
a = (1-(T_M/S))^(-2/3)*((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
5) Воспользовавшись широко известным разложением в ряд Маклорена функции вида:
(1-x)^(-2/3)=1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*x^n/n!)
получим, что:
a = (1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!))* ((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
- это и есть правило Тициуса-Боде с точки зрения классической механики Ньютона.
Чтобы в этом убедиться посмотрим на выражение известного правила:
a = 0.1*(3*2^m+4)*a.u.,
здесь a.u. – большая полуось орбиты Земли. Немного пофантазировав можно заметить, что при выносе 4 за скобку, мы получим произведение на 0.4 а.е., а это по догматам правила есть большая полуось орбиты Меркурия. Таким образом, получаем весьма нетривиальный вывод:
∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!) = ¾*2^m
Сумма ведет себя подобно степеням двойки! Неординарно, но факт. Даже можно объяснить, почему m для Меркурия равно бесконечности, поскольку синодического периода планеты относительно самой себя не существует!
Да, начиная с Нептуна правило не выполняется по одной простой причине аппроксимация суммы степенями двойки перестает работать. Степень m в правиле связана с отношением T_M/S, т.е. не с чем иным, как с орбитальным резонансом Меркурия с другими планетами Солнечной системы.
А теперь давайте еще раз трезвыми глазами физика-теоретика посмотрим на правило Тициуса-Боде:
r = (1+0.7767040*2^n)*0.38709893 a.u.
Цифры в правиле по очереди:
«1» - взялась во время разложения 3-го закона Кеплера в ряд Маклорена,
«0.38709893 a.u.» - большая полуось орбиты Меркурия (сайт NASA),
«2^n» - сумма из ряда Маклорена (да, это действительно так, до Нептуна все планеты с Меркурием в орбитальном резонансе кратном 2, но если честно Нептун от них не далеко ушел),
«0.7767040» - усредненный коэффициент «отличия» суммы из ряда Маклорена от «2^n». Именно благодаря его универсальности правило Тициуса-Боде и работает для целых 7 планет Солнечной системы. В идеале он, конечно, разнится для каждой из планет, но ведь суть правила в его универсальности, не так ли? (в XVIII веке его положили равным ¾ =0.75 и они были недалеки от правды!)
http://artefact.sosbb.ru/t303-topic

Ответить

Написать комментарий

ПРАВИЛО ТИЦИУСА-БОДЕ

Гравитация, вероятности, и Устойчивость Солнечной системы

Тот, кто занимался вычислениями знает, какое испытываешь удовольствие, когда, используя новую формулу, получаешь результат, отличающийся от ожидаемого, к примеру, в 1.000036 или 0.99995 раз. Это вдохновляет. Чувствуешь себя очень умным, чуть ли не Эйнштейном. Показываешь это на обозрение народу. А потом вдруг обнаруживаешь, что единицы измерения не сходятся. Е-мае какой позор. Природа сыграла злую шутку. Это я говорю к тому, что этап вдохновения от численных совпадений мной уже пройден. А здесь я попытаюсь критически посмотреть на странные результаты по вычислениям орбит планет. Сразу замечу, что прецеденты здесь уже были. Так хорошо известно правило Тициуса-Боде.

Правило Тициуса-Боде a = 0.1(3*2 n +4) астр. ед., где: а -- среднее расстояние от планеты до Солнца в астрономических единицах; n = "минус бесконечность" для Меркурия; n = 0 для Венеры; n = 1 для Земли; n = 2 для Марса; n = 3 для пояса астероидов (обломки Фаэтона?); n = 4 для Юпитера...

Отношение вычисленных радиусов к наблюдаемым показаны ниже:

Точность результатов удивляет, но увы, правило Тициуса-Боде не основано на каких-нибудь физических принципах.

Иван Макарченко указал на существование другой закономерности в расположении планет:

Золотое сечение (1+sqrt(5))/2=1.62 (если не вpу).

Твоя правда: 1.6180339887... - изумительное число, но в предложенной схеме точность пониже, и опять таки нет физического обоснования предлагаемой закономерности.

Это было, так сказать, отступление, указывающее на то, что в Солнечной системе существуют какие-то резонансы.

У меня получается несколько другая картина.
Во-первых, использовано физическое обоснование, и получены неожиданные странные совпадения на основании формулы r = sqr(Gm/(Hc)), где r - радиус устойчивой орбиты, H - константа Хаббла, m - масса планеты.
Во-вторых, в применяемой мной формуле использована сравнительно точная константа Хаббла, полученная мной независимым способом, и уточненная гравитационная постоянная.
H = 2.374684198 E-18 об/сек = 73.27511 км/с/Мпк
G = 6.671479888 E-11 Нм 2 /кг 2

А это значит, что тот, кто мог бы раньше меня получить формулу r = sqr(Gm/(Hc)), вряд ли заметил бы закономерность, поскольку он использовал бы очень неточное значение постоянной Хаббла, которое варьируется от 50 до 100 км/с/Мпк. То есть, я полагаю, что эта закономерность найдена впервые; что её доказательство автоматически является доказательством того, что константа Хаббла действительно равна 73.27511 км/с/Мпк, либо очень близка к этому значению и может быть чуть-чуть изменена, если мое уточнение G окажется ошибочным.

Следовательно, нужно оценить вероятность того, являются ли полученные совпадения случайными либо это действительно закономерность.

Итак, где же совпадения? Пытаясь найти радиусы устойчивых орбит по формуле r = sqr(Gm/(Hc)), мы обнаруживаем, что ошибка для большинства планет получается не в случайное число раз больше или меньше, а очень близка к единице, трем, пяти. А именно:

В эту "красоту" не вписывается Венера с ошибкой около 2p : 6,24206 / 2p = 1,0066,
Юпитер с ошибкой 17,13.
Hептун с ошибкой 0,68925 или 1 / 1,4509.
Плутон не в счет, орбита его сильно вытянута и вероятно неустойчива, а мы исследуем устойчивые орбиты. Спутники планет дают большую ошибку.

Предлагаемая формула для устойчивых обрит работает и в микромире, протон дает ошибку 9,5 раз по сравнению с комптоновской орбитой, а электрон в 9,6 раз по сравнению с классическим радиусом электрона. Hо там порядок в орбитах навела квантовая механика. Хотя визит постоянной Хаббла вместе с гравитационной константой на те масштабы очень интересен.

Для оценки вероятности случайного совпадения мы не берем ни протон, ни электрон, ни Плутон. Венера ни туда, ни сюда, тем не менее, пусть она вместе с Юпитером и Плутоном засчитываются в количество планет, опровергающих закономерность.

Итак, в рулетке принимают участие 8 планет. Какова вероятность того, что 5 из этих планет упадут в точки близкие к 1, 3, 5, 7?
Ограничимся пока семеркой.
Как решить эту задачу? Сколько раз нужно запускать рулетку, чтобы мы увидели, хотя бы один раз, чтобы 5 из 8-ми шаров остановились у делений 1, 3, 5, 7 на непрерывном полотне от 0 до 7 и отличались бы от этих чисел не больше чем в 1,01254; 1,00028; 1,0760; 1,0183; 1,0070 раз.

Я еще эту задачу не решил, так интуитивно думаю, что рулетку нужно запускать где-то миллиард раз.
А вы как думаете?
Что это доказывает?
Существование резонансов?
Согласен. А как насчет примененного значения константы Хаббла?
Случайность?

Думаю что нет. Константа Хаббла найдена правильно. Её точное значение определяется в этой работе по формуле:

H = 2m pr m el 2 cG / h 2 / a 2 .

Существует некоторая вероятность, что в этой формуле вместо массы протона может стоять атомная единица массы, или некоторая усредненная масса нуклона. Но пока весь пакет формул для определения главных физических констант, содержащих постоянную Хаббла, полностью согласуется с данными CODATA. Так что если постоянная Хаббла и изменится, то не больше чем на тысячные доли от получаемого по этой формуле значения.

Впервые я получил постоянную Хаббла, пользуясь формулой для нахождения устойчивых орбит планет r = sqr(Gm/(Hc)) где то в районе 1990 года, и считал её усредняя по планетам. Тогда я не знал формулы H = 2m pr m el 2 cG / h 2 / a 2 , полученной пару лет назад, и соответственно не видел квантования орбит. И лишь сейчас, в феврале 2001 года, я применил это точное значение константы Хаббла для определения радиусов устойчивых орбит, и увидел, что старая формула показывает квантование орбит. Вероятность случайного совпадения исчезающе мала. Бог должен был запускать рулетку миллиард раз, чтобы 5 из восьми планет оказались у орбит с квантовыми числами 1, 3, 5.

Следуя обратным путем, можно получить значение постоянной Хаббла через квантовые числа, радиусы и массы планет. Поскольку эти величины наиболее точно известны для планеты Земля, то мы запишем значение константы Хаббла, используя данные о Земле: квантовое число 5, масса 5.9736 *10 24 kg, главная полуось 1.4960 *10 11 m. Для гравитационной постоянной в первом случае возьмем значение 6.671479888 E-11 Нм 2 /кг 2 , полученное мной, во втором предлагаемое CODATA: 6.673 E-11 Нм 2 /кг 2 .

H = GM/(nr) 2 /c. n =5.
H 1 = 2,3759 E-18 об/сек = 73,314 км/с/Мпк
H 2 = 2,376 E-18 об/сек = 73,33 км/с/Мпк

Сравнивая значение H 1 с точным значением H = 2.374684198 E-18 об/сек, видим, что разница действительно составляет менее одной тысячной доли: 0.00053. Имея в виду то, что точный расчет орбит может вестись с учетом влияния других планет, спутников и т.п., мы будем использовать далее точное значение константы Хаббла, а полученные сейчас значения показывают лишь то, что значение Хаббла найдено верно, и в дальнейшем может быть уточнено не более, чем на тысячную долю. А сейчас можно смело пользоваться значением H = 73.3 км/с/Мпк.

Поиски квантовых чисел спутников планет

Составим полную таблицу для планет и их спутников с целью поиска закономерностей или квантовых чисел. В этой таблице мы будем предполагать, что отношение вычисленного радиуса к наблюдаемому стремится к некоторому целому квантовому числу, если отличие составляет не более двух десятых долей от целого, и обозначаем красным цветом. То есть, если мы видим число 17,13, то полагаем, что квантовое число данного спутника или планеты 17. Если это отличие больше чем две десятых, то квантовое число данной планеты не определено. Если результат находится между числами 6 и 1/6, то данная планета или спутник подтверждает закон устойчивых орбит, но не подтверждает квантование. Эти результаты полужирным шрифтом. Если планета или спутник не подтверждает ни квантование, ни закон устойчивых орбит, то эти результаты оставим черными. Другие странности выделим синим.

Мы видим, что результатов обозначенных полужирным шрифтом, значительно больше, чем было бы в случае, если бы выбор орбиты был произволен. Это доказывает, что "расширение" пространства по закону Хаббла противоборствует ускорению Лапласа и поэтому мы наблюдаем Устойчивость Солнечной системы . С другой стороны, результатов окрашенных красным гораздо больше, чем было бы в случае произвольного падения орбит на континуум. Это доказывает квантование орбит в Солнечной системе. И наконец, то, что в формуле для определения радиусов использовано значение константы Хаббла, полученной по другим формулам, доказывает, что константа Хаббла найдена верно. В качестве иллюстрации я привожу таблицу, в которой я использую случайные значения постоянной Хаббла, и мы сравниваем результат, с последней колонкой, полученной на основе используемого здесь значения константы Хаббла.

Для того, чтобы увидеть столбец подобный последнему, "рулетку" нужно запустить миллиард раз. То есть, только H, равное 73.3 км/с/Мпк (или кратное ему), может быть использовано в формуле для нахождения устойчивых орбит планет:

Из писем в группах новостей о правиле Тициуса-Боде и о моей работе

От: Nikolay_Fomin
Тема: Правило Тициуса-Боде. Как объяснить? - Пробуем объяснить.
Дата: 4 мая 2000 г. 14:23

...G.Sh. сообщил в новостях...

> N_Foma, ты ещё здесь сидишь?

Да, сижу... А ты? - Стоишь, что ли? Ну, проходи, садись... :)

> NF> Ты вот лучше, Олег, скажи, пожалуйста, какое объяснение правила Тициуса-Боде сейчас современная астрофизика дает?

> А надо? ;)

:) Ну, кому не надо, может, конечно, не интересоваться.

А мне, вот, интересно узнать, как согласуется с нынешней теорией гравитации закономерность, скрытая в ряде, образуемом значениями радиусов орбит планет солнечной системы (правило Тициуса-Боде)? Ведь, это же определенный порядок.

Как сегодня объясняют его возникновение? Это не галлюцинация, а правило, основанное на ФАКТе, за которых ты так стоишь! (см. письмо Горелику). Ничего не утверждая на все 100% добавлю, что этот факт в достаточно большой степени может подтверждать именно теорию Горелика, а не традиционную теорию гравитации. Т.е. вопрос с правилом Тициуса-БодЕ может быть определенным образом связан с "Дррррррр" и 734Гц или там еще с какой частотой (а точнее целой системой гармонических колебаний). Ты знаешь, что такое "интерференция" или "резонанс"?

Так вот как "резонируют" планеты, которые по теории Горелика вместе с Солнцем тоже обязаны быть осцилляторами? Чуешь, наверное? Похоже, что от вибрирующего Солнца вибрирует и само пространство вокруг Солнца, раз звезда это пространство (материю) кушает (по Горелику) и аж вибрирует от большого аппетита. Планеты со своими меньшими частотами - тоже по-своему вибрируют (чавкают помалу).

Солнце задает доминирующий ритм (прыгая, как поплавок на поверхности воды при клеве и разгоняя вокруг себя волны) и большую группу обертонов меньшей мощности. Планеты - это колебания маленьких поплавком от мелкой поклевки. От всех этих разноголосых колебаний в пространстве солнечной системы образуется общая интерференционная картина, задающая СИСТЕМНОЕ ЕДИНСТВО всех объектов солнечной системы, поскольку все вносят свой вклад в общую картину.

И вот катаются планеты по получившейся интерференционной картине между выпуклостями и впуклостей по траекториям, в которых им энергетически выгодно, - на заданных и главное - ЗАКОНОМЕРНО - определенных расстояниях от Солнца.

Почему орбиты не круговые? А потому, что интерференционная картина - "живая", т.е. меняется в некоторых пределах, раз многие участники (планеты) на месте не стоят.

Как ты думаешь в таком случае, где самый плохой "завибрировавшийся" участок солнечной системы расположен, который не дал и, возможно, не даст никогда планете образоваться? Догадаешься с трех раз, Георг? :)

Что же, астрофизики как и ранее - пока не могут сказать, почему планеты движутся именно по таким закономерно определенным орбитам, а не по другим - произвольным? Законы Кеплера тут никаким боком не относятся к делу как ты понимаешь.

Вот Олег Суханов и другие активные профессионалы в этой эхе ничего не говорят насчет интерпретации такого загадочного факта в солнечной системе, как правило Т-Б, а потому и я боюсь высказать некоторые мысли, - вдруг впросак попаду!

Ученого загадки должны волновать, Георг! А ты такой неожиданный вопрос для ученого задаешь: "А надо?". :) После такого из науки гонят в три шеи. Или в четыре. Так получается, что ты здесь как бы очень сильно стараешься отговорить всех заниматься исследованиями. :) У тебя задача, значит, - охлаждать порывы творческих людей что ль?

Вот бы Рентген задался таким же вопросом, как ты, когда на неожиданно засвеченную пластинку посмотрел, плюнул на все и пошел спать. (Кстати, как история науки говорит, некоторые так и сделали. И кто их теперь помнит?) Или Ньютон поленился бы свой закон всемирного тяготения написать, когда перо в руки взял. :)

Хотя может быть, такое отношение и отличает ортодоксов от неформалов - отношением к неизвестному? :) Одни одержимо копают, пытаясь всеми силами и, тратя свою единственную жизнь, докопаться до интересующей их истины, а другие устало отвечают отрицательно на самим себе поставленный вопрос: "А надо?". :)

> NF> Меня этот вопрос давно интересует - еще с детства.

> А тебя с детства не интересует вопрос о практическом совпадении угловых размеров Солнца и Луны? ;)

Еще как интересует, Георг! Этот вопрос аж с пеленок спать не дает! А ты знаешь? Расскажи!

Впрочем, это можно считать ПОКА совпадением вследствие единичности явления (или у Меркурия тоже?). А вот правило Тициуса-БодЕ - вряд ли!
- Уж больно много планет по нему крутятся (только Плутон отстает. Но он далеко, и ему можно на порядок, устанавливаемый Солнцем, чихать в бОльшей степени, чем другим. Он и чихает - в его области интерференционная картина уже весьма слаба и все там очень сглажено. Он даже не в плоскости вращения других планет немного оказался. - Т.е. за какую-то другую группу выпуклостей и впуклостей "зацепился").

Нарисованная картина, а не теория гравитации, вполне объясняет устойчивость солнечной системы. Без волновых процессов во Вселенной и соответственно интерференции волновых картин никаких устойчивостей в природе быть не может. Системообразование может быть связано именно с интерференцией. Вот проблема- что это такое вибрирует, какая "среда", какие колебания синхронизируют движение планет, звезд и т.д. Теория гравитации в том виде, в какой она принята сегодня, объяснить ситуацию не может.

Структура Солнечной системы - продукт динамической интерференционной картины распределения энергии в пространстве.

Да и вообще по философии пространство - форма существования материи, т.е. и есть материя. Почему бы его не поглощать, как считает Горелик, раз это даже не противоречит современной науке. Ну, а "Дррррррр" или "Фрррррр" - это у кого как шумит. - Пусть даже в голове, как указывабют некоторые ученые. Если у кого в голове вообще ничего нет, то там и шуметь, ведь, нечему. :))

Не надо оскорблять Горелика - я сичтаю, что у него интересные взгляды. И я могу их со своих позиций - своего понимания мироустройства, их обосновать. Мне даже кажется, что он немного не с тех позиций защищает свою теорию, как мог бы. Возможно его взгляды и окажутся неверными, но уж больно верно у него по-крупному: волновой характер процессов и круговорот материи во Вселенной - это я считаю - самые важные и самые сильные позиции, которые относительно легко защитить, поскольку в мире таких фактов - сколько угодно.

И это не выдумки. Давайте подискутируем по поводу волновой природы материи.

==== С уважением, Фома Н.

P.S. У Горелика раз уж пространство (материя) стекает в массы, и этим массам приказано вибрировать (осциллировать), то окружающее пространство тоже вибрирует (волны по пространству расходятся), как пластина с размещенными на ней осцилляторами. - Вынужденно вибрирует.

P.P.P.S. Волновые процессы в микромире определяют квантовые свойства квантовых систем, в т.ч. устойчивость "вращения" электронов вокруг ядра атома.

Интерференция определяет квантованность орбит планет, вращающихся вокруг Солнца. Т.е. солнечная система в определенном смысле (на крупном масштабе) - и в самом деле есть как бы "квантовая система", и поэтому в этом "определенном" смысле здесь можно привлечь аналогию с атомом - другой квантовой системой.

Интерфренция - и есть объяснение правила Тициуса-Боде. :) И теория Горелика имеет в этом смысле одну из привлекательных сторон - для меня, например, - т.к. вводит в рассмотрение волновую природу системной организации (интерференцию) и объясняет квантовый характер гравитационных процессов на макро масштабах. Может быть, "не с той стороны" наши ученые берутся за задачу построения квантовой гравитации?

Природа едина, а потому черты системы на микромасштабах могут, если не должны, проявляться и на других масштабах. Эти общие черты только надо уметь обнаруживать и не считать объекты на разных масштабах чуждыми друг другу. У них одна мать, однако, - Вселенная.

P.P.P.P.S.
А ты, Георг, можешь сказать, почему в Природе через 10 порядков на шкале масштабов "угнездились" системы с "ядерной" организацией (т.е. имеющих ядро)? А между этим "точками" представлены системы с неядерной (нецентрализованной) структурой?

Похоже, что в Природе есть некий ритм, который "протянулся" от микромира до мега мира по всей масштабной шкале. И этот ритм ни с какими известными законами не связан. Здесь также сказывается ритмообразующий характер природы. Причем эта закономерность связывает системы всех масштабов в ЕДИНСТВО. Это мы смотрим на природу не на всю в целом, а в ее отдельных фрагментах. Причем на каждом масштабном уровне смотрим по-разному, придумывая плохо "стыкуемые" теории, городим между ними "интерфейсы", а потом считаем, что природа будто бы и на самом деле на всех масштабных уровнях очень отличается сама от себя. Между тем принципы системной организации в Природе ЕДИНЫ. Эти принципы и надо иметь ввиду при исследованиях.

ЕДИНСТВО ВСЕХ ОБЪЕКТОВ ПРИРОДЫ - важнейший концептуальный принцип. Мне так кажется...

Хватит пока PPPSов. А ты говоришь: "А надо?"

Да, "Фома_N", Вы совершенно правы. На этом рисунке упрощенная модель решетки на масштабе от комптоновской длины протона, l pr , до граничной длины волны, l 0 = l pr *N = 408 км, где мы имеем "предел причинно-следственной связи", где два ближайших "листа в клетку" смещаются, при повороте на элементарный угол j = 2p /N, на одну линию решетки. Размер клетки = комптоновская длина протона. Количество листов N = 3.0909*10 20 , повсеместно используемое в этой работе. (На рисунке N=10).

На следующем рисунке масштаб увеличен в N раз, и мы переходим на масштабы от граничного, т.е. 408 км, до размеров замкнутой Вселенной L = l 0 *N = l pr *N 2 . Верхний "плоский" рисунок должен быть помещен в центр нижнего "объемного" рисунка, и линии верхнего рисунка продолжаются в линиях нижнего рисунка. Правая часть рисунка построена из расчета N=10, левая часть из расчета N=40. На самом деле, N везде в этой работе 3.0909*10 20 . На левой части рисунка видны области, вероятно, ответственные за правило Тициуса-Боде.

N = n 0 /H, где n 0 - граничная частота между фотоном и гравитоном, H - константа Хаббла.

И. Д. Тициус

И. Э. Боде

Правило Тициуса - Боде (известно также как закон Боде) представляет собой эмпирическую формулу , приблизительно описывающую расстояния между планетами Солнечной системы и Солнцем (средние радиусы орбит). Правило было предложено И. Д. Тициусом в г. и получило известность благодаря работам И. Э. Боде в г.

Правило формулируется следующим образом.

Последовательность D i - геометрическая прогрессия , кроме первого числа. То есть,

Эту же формулу можно записать по-другому:

Встречается также другая формулировка:

Результаты вычислений приведены в таблице. Видно, что этой закономерности соответствует и пояс астероидов , а вот Нептун , наоборот, из закономерности выпадает, причём его место странным образом занимает Плутон , который по решению XXVI Ассамблеи МАС планетой вообще не является.

Планета	i	k	Радиус орбиты (а. е.)
			по правилу	фактический
Меркурий	−1	0	0,4	0,39
Венера	0	1	0,7	0,72
Земля	1	2	1,0	1,00	1,825
Марс	2	4	1,6	1,52	1,855
Пояс астероидов	3	8	2,8	в сред. 2,2-3,6	2,096 (по орбите Цереры)
Юпитер	4	16	5,2	5,20	2,021
Сатурн	5	32	10,0	9,54	1,9
Уран	6	64	19,6	19,22	2,053
Нептун	выпадает			30,06	1,579
Плутон	7	128	38,8	39,5	2,078 (по отношению к Урану)
Эрида	8	256	77,2	67,7

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лёг на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера . Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса - Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что, кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (Фаэтона), которая раньше находилась на этой орбите.

Правило не имеет конкретного математического и аналитического (через формулы) объяснения исходя только из теории гравитации - мешает так называемая проблема взаимодействия трех тел.

Резонансным орбитам сейчас в основном соответствуют планеты или группы астероидов, которые постепенно (за десятки и сотни миллионов лет) выходили на эти орбиты. В случаях когда планеты (астероиды и планетоиды за Плутоном) не расположены на стабильных орбитах (как Нептун) или не расположены в плоскости эклиптики (как Плутон) наверняка в ближайшем (относительно сотни миллионов лет) прошлом имели место инциденты нарушавшие их орбиты (столкновение, близкий пролет массивного внешнего тела). Со временем (быстрее к центру системы и медленне на окраинах системы) они неизбежно займут стабильные орбиты, если им не помешают новые инциденты.

Наличие стабильных орбит вызванных резонансами между телами системы впервые численно смоделированно (компьютерная симуляция движения точечных взаимодействующих масс вокруг резонирующего центра - Солнца, представленного как две точечные массы с упругой связью) и приведено в сравнении с реальными астрономическими данными в работах 1998-99 годов профессора Рену Малхотра Renu Malhotra. Смотри ссылки ниже и домашнюю страницу автора: http://www.lpl.arizona.edu/~renu/ Само существование резонансных орбит орбитальный резонанс в нашей системе подтверждается экспериментальными данными по распределению астероидов по радиусу орбиты и плотности объектов KBO пояса Койпера по радиусу их орбиты. Смотри фильм (3 Мб) с докладом того же автора (в котором она приводит графики распределения астероидов по орбитам) http://www.lpl.arizona.edu/~renu/malhotra_presentations/09-migrating_planets.mov , а также графики распределения планетоидов KBO или так называемых Plutinos/plutoids плутино (http://en.wikipedia.org/wiki/File:TheKuiperBelt_classes-en.svg) на странице посвященной объектам пояса Койпера в английской версии: http://en.wikipedia.org/wiki/Kuiper_belt

Три планеты Солнечной системы - Юпитер, Сатурн и Уран - имеют систему спутников, которые, возможно, сформировались в результате таких же процессов, как и в случае самих планет. Эти системы спутников образуют регулярные структуры, на основе орбитальных резонансов , которые, правда, не подчиняются правилу Тициуса - Боде. С другой стороны другие системы спутников планет так же могут быть возмущены внешними инцедентами в недавнем прошлом и находится в данный момент на пути к стабильным орбитам.

Сравнивая структуру стабильных орбит планет Солнечной системы с электронными оболочками простейшего атома можно обнаружить некоторое подобие, хотя в атоме электрон практически мгновенно переходит только между стабильными орбитами (электронными оболочками), а в планетарной системе выход на стабильные орбиты занимает десятки и сотни миллионов лет.

Ссылки

• Malhotra, R., Migrating Planets, Scientific American 281(3):56-63 (1999)
• Hahn, J.M., Malhotra, R., Orbital evolution of planets embedded in a massive planetesimal disk, AJ 117:3041-3053 (1999).
• Malhotra, R., Chaotic planet formation, Nature 402:599-600 (1999).
• Malhotra, R., Orbital resonances and chaos in the Solar system, in Solar System Formation and Evolution, Rio de Janeiro, Brazil, ASP Conference Series vol. 149 (1998). Preprint
• Showman, A., Malhotra, R., The Galilean Satellites, Science 286:77 (1999).
• Планетарные орбиты и протон. «Наука и жизнь» № 1, 1993.

Wikimedia Foundation . 2010 .

И (средние радиусы орбит). Правило было предложено И. Д. Тициусом в г. и получило известность благодаря работам в г.

Правило формулируется следующим образом.

К каждому элементу последовательности D i = 0, 3, 6, 12, … прибавляется 4, затем результат делится на 10. Полученное число считается радиусом в . То есть,

Последовательность D i - , кроме первого числа. То есть, D_{-1} = 0; D_i = 3 \cdot 2^i, i >= 0

Эту же формулу можно записать по-другому:

где k = 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (т.е. первое число - ноль, а следующие - степени числа 2).

Встречается, также, другая формулировка:

Результаты вычислений приведены в таблице. Видно, что в закономерность попадает и , а , наоборот, из закономерности выпадает, причём его место странным образом занимает , который многими вообще не рассматривается как планета.

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркутия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания, до тех пор, пока в году не был открыт Уран, который почти точно лёг на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета была обнаружена . Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса - Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (), которая реньше находилась на этой орбите. Эта гипотеза появилась во многом благодаря доверию к правилу Тициуса - Боде.

Правило не имеет достоверного физического объяснения по сегодняшний день (2005). Наиболее вероятное объяснение, кроме предположения о простом совпадении, заключается в следующем. На стадии формирования Солнечной системы, в результате гравитационных возмущений вызванных протопланетами, формировалась регулярная структура из чередующихся областей, в которых могли или не могли существовать стабильные орбиты.

Две планеты Солнечной системы - Юпитер и Уран - имеют систему спутников, которые, возможно, сформировались в результате таких же процессов, как и в случае самих планет. Эти системы спутников образуют регулярные структуры, которые, правда, не подчиняются правилу Тициуса - Боде.