Затухающие и вынужденные колебания. Величины их характеризующие

«Физика - 11 класс»

В современной физике существует специальный раздел - физика колебаний , которая занимается исследованием вибраций машин и механизмов.

Механические колебания

Механические колебания - это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Примеры колебаний: движения поршней в двигателе автомобиля, поплавка на волне, ветки дерева на ветру.

Колебательные движения, или просто колебания - это повторяющиеся движения тел.

Если движение повторяется точно, то такое движение называется периодическим .

Что является характерным признаком колебательного движения?
При колебаниях движения тела повторяются .
Так, маятник, совершив один цикл колебаний, вновь совершает такой же цикл и т.д.

Маятником называют подвешенное на нити или закрепленное на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести Земли.

Примеры маятников:

1. Пружинный маятник - груз, подвешенный на пружине.
В состоянии равновесия пружина растянута, и сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на шарик. Если вывести шарик из положения равновесия, слегка оттянув его вниз и отпустить, то он начнет совершать колебательные движения.

2. Нитяной маятник - груз, подвешенный на нити.
В положении равновесия нить вертикальна и сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой упругости нити. Если шарик отклонить и затем отпустить, то он начнет колебаться (качаться) из стороны в сторону.

Колебания бывают свободными затухающими и вынужденными.

Свободные колебания.

Группу тел, движение которых изучают, называют в механике системой тел .
Внутренние силы - это силы, действующие между телами системы.
Внешние силы - это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Самый простой вид колебаний - свободные колебания.

Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе.

Примеры свободных колебаний: колебания груза, прикрепленного к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Затухающие колебания.

После выведения системы из положения равновесия создаются условия, при которых груз колеблется без воздействия внешних сил.
Однако с течением времени колебания затухают, так как на тела системы всегда действуют силы сопротивления.
Под действием внутренних сил и сил сопротивления система совершает затухающие колебания .

Вынужденные колебания.

Для того чтобы колебания не затухали, на тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила.
Постоянная сила не может поддерживать колебания, так как под действием этой силы может измениться только положение равновесия, относительно которого происходят колебания.

Вынужденными колебаниями называются колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Наибольшее значение в технике имеют вынужденные колебания.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1 Затухающие колебания. Величины их характеризующие.

2 Вынужденные колебания.

3 Резонанс.

Основные понятия по теме

При наличии в системе диссипативных сил амплитуда колебаний убывает с течением времени. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями . Формально это означает, что в уравнение движения тела, совершающего свободные колебания, при описании затухающих колебаний, необходимо добавить слагаемые учитывающие диссипативные силы. В первом приближении величину этих сил принято считать пропорциональной скорости движения тела. В этом случае уравнение движения пружинного маятника (16.1) принимает вид

где коэффициент сопротивления.

Разделив обе части уравнения (17.1) на , перепишем его в виде

. (17.2)

В выражении (17.2) введены общепринятые обозначения собственная частота колебаний и коэффициент затухания.

Решение уравнения (17.2) имеет вид

Здесь частота затухающих колебаний, их начальная фаза. Функция описывает убывание амплитуды затухающих колебаний с течением времени. График зависимости смещения частицы из положения равновесия приведен на рисунке 17.1. Из вида приведенного графика следует принципиальный вывод – затухающие колебания являются негармоническими . Следовательно, величины используемые ранее для описания свободных колебаний, при описании затухающих колебаний непригодны. Исключение составляет только начальная фаза колебаний , так как она определяет начальные условия возбуждения колебаний и не связана с их дальнейшим поведением во времени.

Затухающие колебания принято характеризовать следующими величинами:

время релаксации колебаний. Время релаксации затухающих колебаний – это время, в течении которого их амплитуда уменьшается в раз;

коэффициент затухания, который характеризует диссипативные силы в системе. Коэффициент затухания связан с временем релаксации очевидным соотношением

и, следовательно, имеет размерность ;

декремент затухания. Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда затухающих колебаний убывает за время одного полного колебания, то есть

; (17.5)

логарифмический декремент затухания; (17.6)

добротность колебательной системы, характеризующая ее энергетические потери за время одного полного колебания. Добротность

, (17.7)

где энергия, запасенная в системе в момент времени , потери энергии за время одного полного колебания.

Введенные выше понятия полностью характеризуют затухающие колебания, то есть описывают поведение кривых представленных на рисунке 17.1 в зависимости от времени. Обратное утверждение также является верным. Имея график зависимости , полученный экспериментально, можно определить все вышеназванные величины характеризующие затухающие колебания.

В реальных ситуациях затухание колебаний является неизбежным, но вредным явлением. Устранить его проявления в рассматриваемой колебательной системе можно, если в число сил, под действием которых происходят колебания, дополнительно включить вынуждающие силы, приводящие к компенсации потерь энергии в колебательной системе. Из основного условия, содержащегося в определении колебаний, «повторяемость во времени» следует, что вынуждающая сила должна иметь периодический характер

. (17.8)

В выражении (17.8) амплитуда вынуждающей силы, ее частота.

При добавлении вынуждающей силы в уравнение движения (17.1), последнее, приобретая внешний вид

, (17.9)

одновременно приобретает и качественно новое математическое свойство. В отличие от уравнений (16.1) и (17.1) уравнение (17.9) является неоднородным дифференциальным уравнением. Установившиеся вынужденные колебания описывает только частное решение неоднородного дифференциального уравнения (17.9), которое имеет вид

Из (17.10) следует, что вынужденные колебания, так же как и свободные, являются гармоническими. Однако они отличаются от свободных колебаний рядом особенностей. Во первых, как ясно из выражения (17.10), частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, то есть вынуждающая сила навязывает колебательной системе свою частоту. Во вторых, амплитуда вынужденных колебаний

Свободные колебания с уменьшающейся амплитудой называют затухающими.

Энергия колебательного движения постепенно переходит в теплоту, излучение и т.д. Именно поэтому и уменьшается амплитуда: энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды.

В механической колебательной системе потери энергии чаще всего связаны с трением. Если оно вязкое , то при малых скоростях движения v сила трения , где r - коэффициент трения, зависящий от формы и размеров тела и вязкости среды.

Запишем уравнение движения точки, которое происходит под действием двух сил: F = -kх (возвращающая сила или квазиупругая сила), и силы трения ,

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f513 - собственная частота незатухающих колебаний), опред-е">дифференциальное уравнение затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f516.gif" border="0" align="absmiddle" alt=") имеет вид:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f518.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - частота затухающих колебаний , опред-е">начальными условиями , например, значениями смещения х и скорости dx/dt в момент времени t = 0.

опред-е">Амплитуда затухающих колебаний

пример">r , тем больше коэффициент затухания опред-е">Частота затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f524.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Период затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f526.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" период становится бесконечным Т = формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f528.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" период Т становится мнимым, а движение тела - апериодическим .

Если сопоставить значения амплитуд в два соседние моменты времени, разделенные одним периодом, т.е..gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то их отношение равно

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f532.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

носит название логарифмического декремента затухания формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f533.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" состоит в том, что с ее помощью можно определить полное число колебаний системы за время релаксации опред-е">т.е. за то время, за которое амплитуда уменьшается в е опред-е">2,7 раз

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f534.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" следует, что пример">N за время релаксации формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f538.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Добротность Q осциллятора характеризует потери энергии колебательной системы за период:

опред-е">вынуждающей силой , а возникающие под ее действием незатухающие колебания - вынужденными .

В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по закону синуса или косинуса, т.е

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f541.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Если ввести обозначения, которые использовались при рассмотрении затухающих колебаний, формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f545.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

выделение">неоднородным . Как известно из курса высшей математики, решение этого уравнения состоит из

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f547.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

с неизвестными заранее амплитудой А и сдвигом фазы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f552.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В отсутствии затухания (формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f554.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то амплитуда достигает максимального значения, равного опред-е">резонансной формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f559.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Резкое возрастание амплитуды колебаний при некоторой частоте вынуждающей силы называют резонансом ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="

При малых затуханиях (формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f563.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", т.е. если система настроена в такт со свободными колебаниями системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Если же это не так, то сила не способствует раскачиванию и амплитуда колебаний мала.

Значение резонансной амплитуды

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f562.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

выделение">добротность системы получает еще один физический смысл : она показывает, во сколько раз сила, действующая с резонансной частотой, вызывает большее смещение, чем постоянная сила, т.е. во сколько раз резонансное смещение больше статического.

Контрольные вопросы и задачи

1. Запишите дифференциальное уравнение механических затухающих колебаний. Каким физическим законом Вы воспользовались?

2. По какому закону изменяется амплитуда затухающего колебания?

3. Что такое время релаксации?

4. Какой физический смысл имеет логарифмический декремент затухания?

5. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

6. Какие колебания называются вынужденными?

7. Каков физический смысл добротности колебательной системы?

8. Чем обусловлена частота вынужденных колебаний?

9. В чем отличие резонанса в системе с большой и малой добротностью?

10. Какой режим вынужденных колебаний называется установившимся?

11. Запишите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Из каких частей оно состоит?

12. В чем заключается явление резонанса? Приведите примеры использования этого явления в природе и технике?

Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Сила трения выражается формулой:

где r – коэффициент трения, а знак минус указывает, что на­правление силы всегда противоположно скорости движения.

Если силы трения отсутствуют, формула (2.4) дает диффе­ренциальное уравнение:

которое имеет, решение в виде:

где ω 0 = . Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: F УПР и F ТР. Уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим: .

Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:

Этому уравнению удовлетворяет функция: х = А 0 е - d t Cos (wt + j 0),

где Значит, сейчас уже частота колебания зависит от , и . Амплитуда колебания будет с течением време­ни изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произ­ведение коэффициента затухания на период колебания T, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

есть безразмерная величина, и называется логарифмическим декре­ментом затухания. Колебания, происходящие в системе при нали­чии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с их увеличением частота уменьшается). Для получения незату­хающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила явля­ется синусоидальной:

тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятым обозна­чениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:

Уравнение характеризует уже вынужденные незатухающие ко­лебания под действием внешней периодической силы. Решение этого уравнения имеет вид:

x = A Cos (ωt-φ),

где А – амплитуда колебания, φ – фаза, равная: φ = аrctg .

Амплитуда вы­нужденных колебаний системы:

где – угловая частота собственных колебаний системы; – угловая частота вынуждающей силы.

При вынужденных колебаниях имеет место явление резонан­са, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колеба­ний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и уг­ловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колеба­ния имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в от­дельных процессах, а может быть и опасным явлением.

Важное место в машиностроении занимают вибрации (от лат. vibratio – колебание) – меха­нические колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям дета­лей машин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженер­ном деле.

Раздел 5. Физика волновых процессов